Tentukanlah nilai dari \( \lim_\limits{x\to 0} \frac{x^2+\sin x \tan x}{1-\cos 2x} \).
Pembahasan:
Jika melakukan substitusi langsung, kita akan memperoleh bentuk tak tentu 0/0. Karena itu, kita sederhanakan menggunakan rumus perbandingan antara fungsi trigonometri dengan fungsi aljabar seperti diberikan di atas.
\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{x^2+\sin x \tan x}{1-\cos 2x} &= \lim_{x\to 0} \frac{x^2+\sin x \tan x}{2 \sin^2 x} \\[1em] &= \lim_{x\to 0} \left( \frac{x^2}{2 \sin^2 x} + \frac{\sin x \tan x}{2 \sin^2 x} \right) \\[1em] &= \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{x}{\sin x} + \frac{\tan x}{2 \sin x} \right) \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} + \frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{\sin x} \\[1em] &= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \\[1em] &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\[1em] &= 1 \end{aligned}